Integral de (6x^5+x+2cbrt(x))/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{18 u^{14} + 3 u^{2} + 6}{u^{6}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{18 u^{14} + 3 u^{2} + 6}{u^{6}} = 18 u^{8} + \frac{3}{u^{4}} + \frac{6}{u^{6}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 18 u^{8}\, du = 18 \int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3}{u^{4}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{u^{3}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{6}{u^{6}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{5 u^{5}}$

         El resultado es: $2 u^{9} - \frac{1}{u^{3}} - \frac{6}{5 u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x^{3} - \frac{1}{x} - \frac{6}{5 x^{\frac{5}{3}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 \sqrt[3]{x} + \left(6 x^{5} + x\right)}{x^{3}} = \frac{2 \sqrt[3]{x}}{x^{3}} + 6 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \sqrt[3]{x}}{x^{3}}\, dx = 2 \int \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{3}}\, dx$

         1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

            $\int \frac{3}{u^{6}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{5 u^{5}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{3}{5 x^{\frac{5}{3}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{5 x^{\frac{5}{3}}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{2}\, dx = 6 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{3}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $2 x^{3} - \frac{1}{x} - \frac{6}{5 x^{\frac{5}{3}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{3} - \frac{1}{x} - \frac{6}{5 x^{\frac{5}{3}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{3} - \frac{1}{x} - \frac{6}{5 x^{\frac{5}{3}}}+ \mathrm{constant}$