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Resolución de integrales/ x^2-2/ 2-2*x/ 2*x+3/ (-x^2)/ 1/e^(-x^2)*(x^2-2*x+3)

Integral de 1/e^(-x^2)*(x^2-2*x+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                
  /                
 |                 
 |   2             
 |  x  - 2*x + 3   
 |  ------------ dx
 |         2       
 |       -x        
 |      E          
 |                 
/                  
-oo
∫−∞∞(x2−2x)+3e−x2 dx\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}{e^{- x^{2}}}\, dx 
Integral((x^2 - 2*x + 3)/E^(-x^2), (x, -oo, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−2x)+3e−x2=x2ex2−2xex2+3ex2\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}{e^{- x^{2}}} = x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫πxerfi⁡(x) dx=π∫xerfi⁡(x) dx\int \sqrt{\pi} x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{\pi} \int x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xex2) dx=−2∫xex2 dx\int \left(- 2 x e^{x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int x e^{x^{2}}\, dx

        1. que u=x2u = x^{2}.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          ex22\frac{e^{x^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −ex2- e^{x^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3ex2 dx=3∫ex2 dx\int 3 e^{x^{2}}\, dx = 3 \int e^{x^{2}}\, dx

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: 3πerfi⁡(x)2\frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)−ex2+3πerfi⁡(x)2\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right) - e^{x^{2}} + \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x2−2x)+3e−x2=x2ex2−2xex2+3ex2\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}{e^{- x^{2}}} = x^{2} e^{x^{2}} - 2 x e^{x^{2}} + 3 e^{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x^{2}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫πxerfi⁡(x) dx=π∫xerfi⁡(x) dx\int \sqrt{\pi} x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx = \sqrt{\pi} \int x \operatorname{erfi}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)\sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xex2) dx=−2∫xex2 dx\int \left(- 2 x e^{x^{2}}\right)\, dx = - 2 \int x e^{x^{2}}\, dx

        1. que u=x2u = x^{2}.

          Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          ex22\frac{e^{x^{2}}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −ex2- e^{x^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3ex2 dx=3∫ex2 dx\int 3 e^{x^{2}}\, dx = 3 \int e^{x^{2}}\, dx

          ErfRule(a=1, b=0, c=0, context=exp(x**2), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: 3πerfi⁡(x)2\frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

      El resultado es: πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)−ex2+3πerfi⁡(x)2\frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right) - e^{x^{2}} + \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    xex22−ex2+5πerfi⁡(x)4\frac{x e^{x^{2}}}{2} - e^{x^{2}} + \frac{5 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xex22−ex2+5πerfi⁡(x)4+constant\frac{x e^{x^{2}}}{2} - e^{x^{2}} + \frac{5 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xex22−ex2+5πerfi⁡(x)4+constant\frac{x e^{x^{2}}}{2} - e^{x^{2}} + \frac{5 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                             
 |                                      /                          / 2\ \                                       
 |  2                     / 2\          |           2              \x / |       ____             ____  2        
 | x  - 2*x + 3           \x /     ____ |erfi(x)   x *erfi(x)   x*e     |   3*\/ pi *erfi(x)   \/ pi *x *erfi(x)
 | ------------ dx = C - e     - \/ pi *|------- + ---------- - --------| + ---------------- + -----------------
 |        2                             |   4          2            ____|          2                   2        
 |      -x                              \                       2*\/ pi /                                       
 |     E                                                                                                        
 |                                                                                                              
/
∫(x2−2x)+3e−x2 dx=C+πx2erfi⁡(x)2−π(x2erfi⁡(x)2−xex22π+erfi⁡(x)4)−ex2+3πerfi⁡(x)2\int \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}{e^{- x^{2}}}\, dx = C + \frac{\sqrt{\pi} x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \sqrt{\pi} \left(\frac{x^{2} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2} - \frac{x e^{x^{2}}}{2 \sqrt{\pi}} + \frac{\operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{4}\right) - e^{x^{2}} + \frac{3 \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.0080.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
5.41939340477415e+43237952332788194986415111240021310152
5.41939340477415e+43237952332788194986415111240021310152

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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