Integral de (3/(1-5x))+2sqrt(3x+1) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sqrt{3 x + 1}\, dx = 2 \int \sqrt{3 x + 1}\, dx$

      1. que $u = 3 x + 1$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{1 - 5 x}\, dx = 3 \int \frac{1}{1 - 5 x}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 1 - 5 x$.

            Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

            $\int \left(- \frac{1}{5 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(1 - 5 x \right)}}{5}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{1 - 5 x} = - \frac{1}{5 x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{5 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{5 x - 1}\, dx$

            1. que $u = 5 x - 1$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

         Método #3

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{1 - 5 x} = - \frac{1}{5 x - 1}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{5 x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{5 x - 1}\, dx$

            1. que $u = 5 x - 1$.

               Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(5 x - 1 \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(1 - 5 x \right)}}{5}$

   El resultado es: $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{3 \log{\left(1 - 5 x \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{3 \log{\left(1 - 5 x \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{3 \log{\left(1 - 5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{3 \log{\left(1 - 5 x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$