Integral de 1/(x+x^(1/4)) dx

1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $4 du$:

   $\int \frac{4 u^{2}}{u^{3} + 1}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\, du = 4 \int \frac{u^{2}}{u^{3} + 1}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = u^{3} + 1$.

            Luego que $du = 3 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(u^{3} + 1 \right)}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2}}{u^{3} + 1} = \frac{2 u - 1}{3 \left(u^{2} - u + 1\right)} + \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2 u - 1}{3 \left(u^{2} - u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{2 u - 1}{u^{2} - u + 1}\, du}{3}$

               1. que $u = u^{2} - u + 1$.

                  Luego que $du = \left(2 u - 1\right) du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u^{2} - u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{2} - u + 1 \right)}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}$

               1. que $u = u + 1$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

            El resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(u^{2} - u + 1 \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \log{\left(u^{3} + 1 \right)}}{3}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{4 \log{\left(x^{\frac{3}{4}} + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \log{\left(x^{\frac{3}{4}} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \log{\left(x^{\frac{3}{4}} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$