Integral de (x^2+5*(x^1/3)+7)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{3 u^{6} + 15 u + 21}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 u^{6} + 15 u + 21}{u} = 3 u^{5} + 15 + \frac{21}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{5}\, du = 3 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 15\, du = 15 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{21}{u}\, du = 21 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $21 \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{6}}{2} + 15 u + 21 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $15 \sqrt[3]{x} + \frac{x^{2}}{2} + 21 \log{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(5 \sqrt[3]{x} + x^{2}\right) + 7}{x} = x + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{7}{x}\, dx = 7 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $15 \sqrt[3]{x} + \frac{x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $15 \sqrt[3]{x} + \frac{x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $15 \sqrt[3]{x} + \frac{x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$15 \sqrt[3]{x} + \frac{x^{2}}{2} + 7 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$