Integral de (5+x^(1/2)-3*x^(4/7))/4x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{3 u^{\frac{29}{7}}}{2} + \frac{u^{4}}{2} + \frac{5 u^{3}}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 u^{\frac{29}{7}}}{2}\right)\, du = - \frac{3 \int u^{\frac{29}{7}}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{29}{7}}\, du = \frac{7 u^{\frac{36}{7}}}{36}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 u^{\frac{36}{7}}}{24}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 u^{3}}{2}\, du = \frac{5 \int u^{3}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{8}$

         El resultado es: $- \frac{7 u^{\frac{36}{7}}}{24} + \frac{u^{5}}{10} + \frac{5 u^{4}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{7 x^{\frac{18}{7}}}{24} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{5 x^{2}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{- 3 x^{\frac{4}{7}} + \left(\sqrt{x} + 5\right)}{4} = - \frac{3 x^{\frac{11}{7}}}{4} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{5 x}{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 x^{\frac{11}{7}}}{4}\right)\, dx = - \frac{3 \int x^{\frac{11}{7}}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{11}{7}}\, dx = \frac{7 x^{\frac{18}{7}}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7 x^{\frac{18}{7}}}{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4}\, dx = \frac{\int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5 x}{4}\, dx = \frac{5 \int x\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{2}}{8}$

      El resultado es: $- \frac{7 x^{\frac{18}{7}}}{24} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{5 x^{2}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{7 x^{\frac{18}{7}}}{24} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{5 x^{2}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{7 x^{\frac{18}{7}}}{24} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + \frac{5 x^{2}}{8}+ \mathrm{constant}$