Integral de 2(x^2+(4-x)^2)-16 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \left(x^{2} + \left(4 - x\right)^{2}\right)\, dx = 2 \int \left(x^{2} + \left(4 - x\right)^{2}\right)\, dx$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 4 - x$.

               Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(4 - x\right)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 8 x\right)\, dx = - 8 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 16\, dx = 16 x$

               El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 4 x^{2} + 16 x$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\left(4 - x\right)^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{2 \left(4 - x\right)^{3}}{3}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \left(-16\right)\, dx = - 16 x$

   El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - 16 x - \frac{2 \left(4 - x\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 x^{3}}{3} - 16 x + \frac{2 \left(x - 4\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{3}}{3} - 16 x + \frac{2 \left(x - 4\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3}}{3} - 16 x + \frac{2 \left(x - 4\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$