Integral de sin(2*pi*x)^2 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin^{2}{\left(2 \pi x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{2}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 \pi x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 \pi x \right)}\, dx}{2}$

      1. que $u = 4 \pi x$.

         Luego que $du = 4 \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{4 \pi}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{4 \pi}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{8 \pi}$

   El resultado es: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{8 \pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{8 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 \pi x \right)}}{8 \pi}+ \mathrm{constant}$