Integral de sec4x-tan4x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \tan{\left(4 x \right)}\right)\, dx = - \int \tan{\left(4 x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan{\left(4 x \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \cos{\left(4 x \right)}$.

            Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

         Método #2

         1. que $u = 4 x$.

            Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4 \cos{\left(u \right)}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}\, du}{4}$

               1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sec{\left(4 x \right)} = \frac{\tan{\left(4 x \right)} \sec{\left(4 x \right)} + \sec^{2}{\left(4 x \right)}}{\tan{\left(4 x \right)} + \sec{\left(4 x \right)}}$

   2. que $u = \tan{\left(4 x \right)} + \sec{\left(4 x \right)}$.

      Luego que $du = \left(4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \tan{\left(4 x \right)} \sec{\left(4 x \right)} + 4\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(\tan{\left(4 x \right)} + \sec{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

   El resultado es: $\frac{\log{\left(\tan{\left(4 x \right)} + \sec{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\tan{\left(4 x \right)} + \sec{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\tan{\left(4 x \right)} + \sec{\left(4 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$