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Resolución de integrales/ sin^2/ sin2x/ 2sin2x+sin^2(2x)+1

Integral de 2sin2x+sin^2(2x)+1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                
  /                                
 |                                 
 |  /                2         \   
 |  \2*sin(2*x) + sin (2*x) + 1/ dx
 |                                 
/                                  
0
∫01((sin⁡2(2x)+2sin⁡(2x))+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1\right)\, dx 
Integral(2*sin(2*x) + sin(2*x)^2 + 1, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(2x)=12−cos⁡(4x)2\sin^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x)2) dx=−∫cos⁡(4x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x)8- \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        El resultado es: x2−sin⁡(4x)8\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(2x) dx=2∫sin⁡(2x) dx\int 2 \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Método #2

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u du\int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)- \cos{\left(2 x \right)}

      El resultado es: x2−sin⁡(4x)8−cos⁡(2x)\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos{\left(2 x \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: 3x2−sin⁡(4x)8−cos⁡(2x)\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos{\left(2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x2−sin⁡(4x)8−cos⁡(2x)+constant\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x2−sin⁡(4x)8−cos⁡(2x)+constant\frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                               
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 | /                2         \                     sin(4*x)   3*x
 | \2*sin(2*x) + sin (2*x) + 1/ dx = C - cos(2*x) - -------- + ---
 |                                                     8        2 
/
∫((sin⁡2(2x)+2sin⁡(2x))+1) dx=C+3x2−sin⁡(4x)8−cos⁡(2x)\int \left(\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) + 1\right)\, dx = C + \frac{3 x}{2} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \cos{\left(2 x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
5            cos(2)*sin(2)
- - cos(2) - -------------
2                  4
−sin⁡(2)cos⁡(2)4−cos⁡(2)+52- \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} - \cos{\left(2 \right)} + \frac{5}{2} 
=
= 
5            cos(2)*sin(2)
- - cos(2) - -------------
2                  4
−sin⁡(2)cos⁡(2)4−cos⁡(2)+52- \frac{\sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{4} - \cos{\left(2 \right)} + \frac{5}{2} 
5/2 - cos(2) - cos(2)*sin(2)/4
Respuesta numérica [src] 
3.01074714846063
3.01074714846063

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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