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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de (x-x³)dx
Integral de x|x-t|
Integral de x×x
Integral de x/(x^3+x^2+x+1)
Expresiones idénticas
(y^ dos -x^ dos)/(dos (x^ dos +y^ dos)^ dos)
(y al cuadrado menos x al cuadrado ) dividir por (2(x al cuadrado más y al cuadrado ) al cuadrado )
(y en el grado dos menos x en el grado dos) dividir por (dos (x en el grado dos más y en el grado dos) en el grado dos)
(y2-x2)/(2(x2+y2)2)
y2-x2/2x2+y22
(y²-x²)/(2(x²+y²)²)
(y en el grado 2-x en el grado 2)/(2(x en el grado 2+y en el grado 2) en el grado 2)
y^2-x^2/2x^2+y^2^2
(y^2-x^2) dividir por (2(x^2+y^2)^2)
(y^2-x^2)/(2(x^2+y^2)^2)dx
Expresiones semejantes
(y^2-x^2)/(2(x^2-y^2)^2)
(y^2+x^2)/(2(x^2+y^2)^2)

Resolución de integrales/ 2-x^2/ x^2+y/ (y^2-x^2)/(2(x^2+y^2)^2)

Integral de (y^2-x^2)/(2(x^2+y^2)^2) dy

Solución

Ha introducido [src]

  1                
  /                
 |                 
 |     2    2      
 |    y  - x       
 |  ------------ dy
 |             2   
 |    / 2    2\    
 |  2*\x  + y /    
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{- x^{2} + y^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy$$

Integral((y^2 - x^2)/((2*(x^2 + y^2)^2)), (y, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{- x^{2} + y^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dy = - x^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right)$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)}\, dy = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy}{2}$
    1. Integral $\frac{1}{y^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}$ .
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
  El resultado es: $- x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{- x^{2} + y^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}}\right)\, dy = - \int \frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}}\, dy$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2} - y^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} = \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} - \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy = x^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right)$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy}{2}$
      
      Integral $\frac{1}{y^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
    El resultado es: $x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right) - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{- x^{2} + y^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{y^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}}\right)\, dy = - x^{2} \int \frac{1}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}}\, dy$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{1}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} = \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}$
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy = \frac{\int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy}{2}$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}\right)} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{2 x^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2} \left(\frac{y}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}\right)} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{2 x^{3}}\right)$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{y^{2}}{2 x^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} = - \frac{x^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dy = - \frac{x^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy}{2}$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right)}{2}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)}\, dy = \frac{\int \frac{1}{x^{2} + y^{2}}\, dy}{2}$
      
      Integral $\frac{1}{y^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{\sqrt{x^{2}}}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
    El resultado es: $- \frac{x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right)}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
  El resultado es: $- x^{2} \left(\frac{y}{2 \left(2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}\right)} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{2 x^{3}}\right) - \frac{x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right)}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$
Ahora simplificar:

$\frac{2 x \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)} - \left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(- i x + y \right)} + \log{\left(i x + y \right)}\right)\right) \sqrt{x^{2}}}{4 x \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{x^{2}}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{2 x \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)} - \left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(- i x + y \right)} + \log{\left(i x + y \right)}\right)\right) \sqrt{x^{2}}}{4 x \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{x^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)} - \left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(- i x + y \right)} + \log{\left(i x + y \right)}\right)\right) \sqrt{x^{2}}}{4 x \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{x^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                             /   y   \                                                          
  /                      atan|-------|                                                          
 |                           |   ____|      /                   I*log(y - I*x)   I*log(y + I*x)\
 |    2    2                 |  /  2 |      |                 - -------------- + --------------|
 |   y  - x                  \\/  x  /    2 |      y                  4                4       |
 | ------------ dy = C + ------------- - x *|-------------- + ---------------------------------|
 |            2                 ____        |   4      2  2                    3               |
 |   / 2    2\                 /  2         \2*x  + 2*x *y                    x                /
 | 2*\x  + y /             2*\/  x                                                              
 |                                                                                              
/

$$\int \frac{- x^{2} + y^{2}}{2 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dy = C - x^{2} \left(\frac{y}{2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i x + y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i x + y \right)}}{4}}{x^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2}}} \right)}}{2 \sqrt{x^{2}}}$$

Simplificar

Respuesta [src]

  -1    
--------
       2
2 + 2*x

$$- \frac{1}{2 x^{2} + 2}$$

  -1    
--------
       2
2 + 2*x

$$- \frac{1}{2 x^{2} + 2}$$

-1/(2 + 2*x^2)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (y^2-x^2)/(2(x^2+y^2)^2) dy

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3