Integral de (cos(x))^11 dx

Solución

Ha introducido [src]

 pi            
  /            
 |             
 |     11      
 |  cos  (x) dx
 |             
/              
-pi

$$\int\limits_{- \pi}^{\pi} \cos^{11}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(cos(x)^11, (x, -pi, pi))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\cos^{11}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{5} \cos{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{5} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 10 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 10 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 5 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 10 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 10 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 10 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin^{5}{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del coseno es seno:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  El resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 2 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{5} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 10 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 10 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{10}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 5 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 10 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 10 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 10 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin^{5}{\left(x \right)}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 5 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 5 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  1. La integral del coseno es seno:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  El resultado es: $- \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 2 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(- 63 \sin^{10}{\left(x \right)} + 385 \sin^{8}{\left(x \right)} - 990 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1386 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1155 \sin^{2}{\left(x \right)} + 693\right) \sin{\left(x \right)}}{693}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(- 63 \sin^{10}{\left(x \right)} + 385 \sin^{8}{\left(x \right)} - 990 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1386 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1155 \sin^{2}{\left(x \right)} + 693\right) \sin{\left(x \right)}}{693}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 63 \sin^{10}{\left(x \right)} + 385 \sin^{8}{\left(x \right)} - 990 \sin^{6}{\left(x \right)} + 1386 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1155 \sin^{2}{\left(x \right)} + 693\right) \sin{\left(x \right)}}{693}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                    
 |                                     7           3         11           9            
 |    11                  5      10*sin (x)   5*sin (x)   sin  (x)   5*sin (x)         
 | cos  (x) dx = C + 2*sin (x) - ---------- - --------- - -------- + --------- + sin(x)
 |                                   7            3          11          9             
/

$$\int \cos^{11}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{5 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{10 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 2 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{5 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

$$0$$

Respuesta numérica [src]

2.46096786375671e-16

2.46096786375671e-16

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de (cos(x))^11 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2