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Resolución de integrales/ (x+1)/ (cosx)/ (x+1)^2(cosx)

Integral de (x+1)^2(cosx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |         2          
 |  (x + 1) *cos(x) dx
 |                    
/                     
0
∫01(x+1)2cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral((x + 1)^2*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)2cos⁡(x)=x2cos⁡(x)+2xcos⁡(x)+cos⁡(x)\left(x + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=2xu{\left(x \right)} = 2 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xcos⁡(x) dx=2∫xcos⁡(x) dx\int 2 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)2 x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: x2sin⁡(x)+2xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)−sin⁡(x)+2cos⁡(x)x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=x2+2x+1u{\left(x \right)} = x^{2} + 2 x + 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2x+2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+2u{\left(x \right)} = 2 x + 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x2sin⁡(x)+22xsin⁡(x+π4)−sin⁡(x)+2cos⁡(x)x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2sin⁡(x)+22xsin⁡(x+π4)−sin⁡(x)+2cos⁡(x)+constantx^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2sin⁡(x)+22xsin⁡(x+π4)−sin⁡(x)+2cos⁡(x)+constantx^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 \sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                
 |                                                                                 
 |        2                                      2                                 
 | (x + 1) *cos(x) dx = C - sin(x) + 2*cos(x) + x *sin(x) + 2*x*cos(x) + 2*x*sin(x)
 |                                                                                 
/
∫(x+1)2cos⁡(x) dx=C+x2sin⁡(x)+2xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)−sin⁡(x)+2cos⁡(x)\int \left(x + 1\right)^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x^{2} \sin{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-2 + 2*sin(1) + 4*cos(1)
−2+2sin⁡(1)+4cos⁡(1)-2 + 2 \sin{\left(1 \right)} + 4 \cos{\left(1 \right)} 
=
= 
-2 + 2*sin(1) + 4*cos(1)
−2+2sin⁡(1)+4cos⁡(1)-2 + 2 \sin{\left(1 \right)} + 4 \cos{\left(1 \right)} 
-2 + 2*sin(1) + 4*cos(1)
Respuesta numérica [src] 
1.84415119308835
1.84415119308835

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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