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Resolución de integrales/ sin^5/ sin^3/ 5sin^5x-3sin^3x/sin^5x

Integral de 5sin^5x-3sin^3x/sin^5x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |  /                 3   \   
 |  |     5      3*sin (x)|   
 |  |5*sin (x) - ---------| dx
 |  |                5    |   
 |  \             sin (x) /   
 |                            
/                             
0
∫01(5sin⁡5(x)−3sin⁡3(x)sin⁡5(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)\, dx 
Integral(5*sin(x)^5 - 3*sin(x)^3/sin(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫5sin⁡5(x) dx=5∫sin⁡5(x) dx\int 5 \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin^{5}{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡5(x)=(1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)\sin^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}

      2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: −cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (1−cos⁡2(x))2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡4(x)−2sin⁡(x)cos⁡2(x)+sin⁡(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2sin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          El resultado es: −cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3−cos⁡(x)- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡5(x)+10cos⁡3(x)3−5cos⁡(x)- \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 5 \cos{\left(x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3sin⁡3(x)sin⁡5(x)) dx=−∫3sin⁡3(x)sin⁡5(x) dx\int \left(- \frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3sin⁡3(x)sin⁡5(x) dx=3∫sin⁡3(x)sin⁡5(x) dx\int \frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\, dx = 3 \int \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −cos⁡(x)sin⁡(x)- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −3cos⁡(x)sin⁡(x)- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

    El resultado es: −cos⁡5(x)+10cos⁡3(x)3−5cos⁡(x)+3cos⁡(x)sin⁡(x)- \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 5 \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    −3sin⁡5(x)−4sin⁡3(x)−8sin⁡(x)+93tan⁡(x)\frac{- 3 \sin^{5}{\left(x \right)} - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} + 9}{3 \tan{\left(x \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −3sin⁡5(x)−4sin⁡3(x)−8sin⁡(x)+93tan⁡(x)+constant\frac{- 3 \sin^{5}{\left(x \right)} - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} + 9}{3 \tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3sin⁡5(x)−4sin⁡3(x)−8sin⁡(x)+93tan⁡(x)+constant\frac{- 3 \sin^{5}{\left(x \right)} - 4 \sin^{3}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} + 9}{3 \tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                           
 |                                                                            
 | /                 3   \                                     3              
 | |     5      3*sin (x)|             5                 10*cos (x)   3*cos(x)
 | |5*sin (x) - ---------| dx = C - cos (x) - 5*cos(x) + ---------- + --------
 | |                5    |                                   3         sin(x) 
 | \             sin (x) /                                                    
 |                                                                            
/
∫(5sin⁡5(x)−3sin⁡3(x)sin⁡5(x)) dx=C−cos⁡5(x)+10cos⁡3(x)3−5cos⁡(x)+3cos⁡(x)sin⁡(x)\int \left(5 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)\, dx = C - \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 5 \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-200000000100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-4.13797103384579e+19
-4.13797103384579e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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