Sr Examen

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Resolución de integrales/ x^2+2/ 2x+10/ x/(x^2+2x+10)

Integral de x/(x^2+2x+10) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |        x         
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  + 2*x + 10   
 |                  
/                   
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 10}\, dx$$ 
Integral(x/(x^2 + 2*x + 10), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /                
 |                 
 |       x         
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 2*x + 10   
 |                 
/
Reescribimos la función subintegral
                /   2*x + 2   \                 
                |-------------|       /-1 \     
                | 2           |       |---|     
      x         \x  + 2*x + 10/       \ 9 /     
------------- = --------------- + --------------
 2                     2                   2    
x  + 2*x + 10                     /  x   1\     
                                  |- - - -|  + 1
                                  \  3   3/
o
  /                  
 |                   
 |       x           
 | ------------- dx  
 |  2               =
 | x  + 2*x + 10     
 |                   
/                    
  
                        /                 
                       |                  
  /                    |       1          
 |                     | -------------- dx
 |    2*x + 2          |          2       
 | ------------- dx    | /  x   1\        
 |  2                  | |- - - -|  + 1   
 | x  + 2*x + 10       | \  3   3/        
 |                     |                  
/                     /                   
------------------- - --------------------
         2                     9
En integral
  /                
 |                 
 |    2*x + 2      
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 2*x + 10   
 |                 
/                  
-------------------
         2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 2*x
entonces
integral =
  /                       
 |                        
 |   1                    
 | ------ du              
 | 10 + u                 
 |                        
/              log(10 + u)
------------ = -----------
     2              2
hacemos cambio inverso
  /                                     
 |                                      
 |    2*x + 2                           
 | ------------- dx                     
 |  2                                   
 | x  + 2*x + 10                        
 |                       /      2      \
/                     log\10 + x  + 2*x/
------------------- = ------------------
         2                    2
En integral
   /                  
  |                   
  |       1           
- | -------------- dx 
  |          2        
  | /  x   1\         
  | |- - - -|  + 1    
  | \  3   3/         
  |                   
 /                    
----------------------
          9
hacemos el cambio
      1   x
v = - - - -
      3   3
entonces
integral =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      9              9
hacemos cambio inverso
   /                                  
  |                                   
  |       1                           
- | -------------- dx                 
  |          2                        
  | /  x   1\                         
  | |- - - -|  + 1                    
  | \  3   3/                 /1   x\ 
  |                      -atan|- + -| 
 /                            \3   3/ 
---------------------- = -------------
          9                    3
La solución:
                             /1   x\
       /      2      \   atan|- + -|
    log\10 + x  + 2*x/       \3   3/
C + ------------------ - -----------
            2                 3
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                /1   x\
 |                           /      2      \   atan|- + -|
 |       x                log\10 + x  + 2*x/       \3   3/
 | ------------- dx = C + ------------------ - -----------
 |  2                             2                 3     
 | x  + 2*x + 10                                          
 |                                                        
/
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 10}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 10 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \right)}}{3}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
log(13)   log(10)   atan(2/3)   atan(1/3)
------- - ------- - --------- + ---------
   2         2          3           3
$$- \frac{\log{\left(10 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(13 \right)}}{2}$$ 
=
= 
log(13)   log(10)   atan(2/3)   atan(1/3)
------- - ------- - --------- + ---------
   2         2          3           3
$$- \frac{\log{\left(10 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{3} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(13 \right)}}{2}$$ 
log(13)/2 - log(10)/2 - atan(2/3)/3 + atan(1/3)/3
Respuesta numérica [src] 
0.0424314491834371
0.0424314491834371

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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