Integral de (2+x)^3/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{x} = x^{2} + 6 x + 12 + \frac{8}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 12\, dx = 12 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x}\, dx = 8 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 12 x + 8 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 2\right)^{3}}{x} = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{x}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}{x} = x^{2} + 6 x + 12 + \frac{8}{x}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 12\, dx = 12 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8}{x}\, dx = 8 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 12 x + 8 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 12 x + 8 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 12 x + 8 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$