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Resolución de integrales/ sen2x/ e^3xsen2xdx

Integral de e^3xsen2xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |   3              
 |  E *x*sin(2*x) dx
 |                  
/                   
0
∫01e3xsin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{3} x \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((E^3*x)*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xe3u{\left(x \right)} = x e^{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=e3\operatorname{du}{\left(x \right)} = e^{3}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−e3cos⁡(2x)2) dx=−e3∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{e^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{e^{3} \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −e3sin⁡(2x)4- \frac{e^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #2

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2xe3sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2e3∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 x e^{3} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 e^{3} \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: 2(−xcos⁡(2x)4+sin⁡(2x)8)e32 \left(- \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}\right) e^{3}

  2. Ahora simplificar:

    (−2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x))e34\frac{\left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{3}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (−2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x))e34+constant\frac{\left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{3}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−2xcos⁡(2x)+sin⁡(2x))e34+constant\frac{\left(- 2 x \cos{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{3}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                         3                        3
 |  3                     e *sin(2*x)   x*cos(2*x)*e 
 | E *x*sin(2*x) dx = C + ----------- - -------------
 |                             4              2      
/
∫e3xsin⁡(2x) dx=C−xe3cos⁡(2x)2+e3sin⁡(2x)4\int e^{3} x \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - \frac{x e^{3} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{e^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
/  cos(2)   sin(2)\  3
|- ------ + ------|*e 
\    2        4   /
(−cos⁡(2)2+sin⁡(2)4)e3\left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) e^{3} 
=
= 
/  cos(2)   sin(2)\  3
|- ------ + ------|*e 
\    2        4   /
(−cos⁡(2)2+sin⁡(2)4)e3\left(- \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 \right)}}{4}\right) e^{3} 
(-cos(2)/2 + sin(2)/4)*exp(3)
Respuesta numérica [src] 
8.74519808563438
8.74519808563438

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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