Integral de (x^2-5x+7)^12(2x-5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} - 5 x\right) + 7$.

      Luego que $du = \left(2 x - 5\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{12}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 7\right)^{13}}{13}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x - 5\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 7\right)^{12} = 2 x^{25} - 125 x^{24} + 3768 x^{23} - 72910 x^{22} + 1016818 x^{21} - 10878945 x^{20} + 92798420 x^{19} - 647492450 x^{18} + 3761877240 x^{17} - 18430411450 x^{16} + 76825564288 x^{15} - 274141154550 x^{14} + 840629673002 x^{13} - 2219212965065 x^{12} + 5043778038012 x^{11} - 9850805486830 x^{10} + 16469480344240 x^{9} - 23427221236650 x^{8} + 28100387010080 x^{7} - 28065151302650 x^{6} + 22927046760618 x^{5} - 14932131670225 x^{4} + 7460413447732 x^{3} - 2686339617990 x^{2} + 620880597302 x - 69206436005$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{25}\, dx = 2 \int x^{25}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{26}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 125 x^{24}\right)\, dx = - 125 \int x^{24}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5 x^{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3768 x^{23}\, dx = 3768 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $157 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 72910 x^{22}\right)\, dx = - 72910 \int x^{22}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3170 x^{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1016818 x^{21}\, dx = 1016818 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $46219 x^{22}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 10878945 x^{20}\right)\, dx = - 10878945 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 518045 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 92798420 x^{19}\, dx = 92798420 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4639921 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 647492450 x^{18}\right)\, dx = - 647492450 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 34078550 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3761877240 x^{17}\, dx = 3761877240 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $208993180 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18430411450 x^{16}\right)\, dx = - 18430411450 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1084141850 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 76825564288 x^{15}\, dx = 76825564288 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4801597768 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 274141154550 x^{14}\right)\, dx = - 274141154550 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 18276076970 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 840629673002 x^{13}\, dx = 840629673002 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $60044976643 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2219212965065 x^{12}\right)\, dx = - 2219212965065 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2219212965065 x^{13}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5043778038012 x^{11}\, dx = 5043778038012 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $420314836501 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 9850805486830 x^{10}\right)\, dx = - 9850805486830 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 895527771530 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16469480344240 x^{9}\, dx = 16469480344240 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1646948034424 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 23427221236650 x^{8}\right)\, dx = - 23427221236650 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2603024581850 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 28100387010080 x^{7}\, dx = 28100387010080 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3512548376260 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 28065151302650 x^{6}\right)\, dx = - 28065151302650 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4009307328950 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 22927046760618 x^{5}\, dx = 22927046760618 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3821174460103 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 14932131670225 x^{4}\right)\, dx = - 14932131670225 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2986426334045 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7460413447732 x^{3}\, dx = 7460413447732 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1865103361933 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2686339617990 x^{2}\right)\, dx = - 2686339617990 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 895446539330 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 620880597302 x\, dx = 620880597302 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $310440298651 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-69206436005\right)\, dx = - 69206436005 x$

      El resultado es: $\frac{x^{26}}{13} - 5 x^{25} + 157 x^{24} - 3170 x^{23} + 46219 x^{22} - 518045 x^{21} + 4639921 x^{20} - 34078550 x^{19} + 208993180 x^{18} - 1084141850 x^{17} + 4801597768 x^{16} - 18276076970 x^{15} + 60044976643 x^{14} - \frac{2219212965065 x^{13}}{13} + 420314836501 x^{12} - 895527771530 x^{11} + 1646948034424 x^{10} - 2603024581850 x^{9} + 3512548376260 x^{8} - 4009307328950 x^{7} + 3821174460103 x^{6} - 2986426334045 x^{5} + 1865103361933 x^{4} - 895446539330 x^{3} + 310440298651 x^{2} - 69206436005 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{13}}{13}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{13}}{13}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{13}}{13}+ \mathrm{constant}$