Integral de (3x+1)/(x^(2/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{9 u^{\frac{3}{2}} + 3}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9 u^{\frac{3}{2}} + 3}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{9 u^{\frac{3}{2}} + 3}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{6 u^{3} + 18}{u^{5}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6 u^{3} + 18}{u^{5}}\, du = - \int \frac{6 u^{3} + 18}{u^{5}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{6 u^{3} + 18}{u^{5}} = \frac{6}{u^{2}} + \frac{18}{u^{5}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{6}{u^{2}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{u}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{18}{u^{5}}\, du = 18 \int \frac{1}{u^{5}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{2 u^{4}}$

                  El resultado es: $- \frac{6}{u} - \frac{9}{2 u^{4}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{u} + \frac{9}{2 u^{4}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $6 \sqrt{u} + \frac{9 u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \sqrt{u} + \frac{9 u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{3 x}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{3}{2 u^{3}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{4 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt[3]{x} \left(\frac{9 x}{4} + 3\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt[3]{x} \left(\frac{9 x}{4} + 3\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt[3]{x} \left(\frac{9 x}{4} + 3\right)+ \mathrm{constant}$