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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ ч*(-2*sin(2*x))

Integral de ч*(-2*sin(2*x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 -pi                 
 ----                
  6                  
   /                 
  |                  
  |  x*-2*sin(2*x) dx
  |                  
 /                   
-pi                  
----                 
 4
∫−π4−π6x(−2sin⁡(2x)) dx\int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{- \frac{\pi}{6}} x \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(x*(-2*sin(2*x)), (x, -pi/4, -pi/6))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−4xsin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−4∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 4 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Método #2

              1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

                Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

                ∫u du\int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

    Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2+constantx \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2+constantx \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                        sin(2*x)             
 | x*-2*sin(2*x) dx = C - -------- + x*cos(2*x)
 |                           2                 
/
∫x(−2sin⁡(2x)) dx=C+xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2\int x \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
-0.775-0.750-0.725-0.700-0.675-0.650-0.625-0.600-0.575-0.550-0.5252.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
             ___
  1   pi   \/ 3 
- - - -- + -----
  2   12     4
−12−π12+34- \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} 
=
= 
             ___
  1   pi   \/ 3 
- - - -- + -----
  2   12     4
−12−π12+34- \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} 
-1/2 - pi/12 + sqrt(3)/4
Respuesta numérica [src] 
-0.32878668590693
-0.32878668590693

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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