Integral de (2x+5)e^(-x/2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $e^{\frac{\left(-1\right) x}{2}} \left(2 x + 5\right) = 2 x e^{- \frac{x}{2}} + 5 e^{- \frac{x}{2}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 2 \int x e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

         1. que $u = - \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{- \frac{x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x e^{- \frac{x}{2}} - 8 e^{- \frac{x}{2}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 5 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

      1. que $u = - \frac{x}{2}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 10 e^{- \frac{x}{2}}$

   El resultado es: $- 4 x e^{- \frac{x}{2}} - 18 e^{- \frac{x}{2}}$

3. Ahora simplificar:

   $- \left(4 x + 18\right) e^{- \frac{x}{2}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(4 x + 18\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(4 x + 18\right) e^{- \frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$