Integral de 5/(5-x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{5}{5 - x}\, dx = 5 \int \frac{1}{5 - x}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(5 - x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{5 - x} = - \frac{1}{x - 5}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

         1. que $u = x - 5$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 5 \right)}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{5 - x} = - \frac{1}{x - 5}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 5}\, dx$

         1. que $u = x - 5$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 5 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \log{\left(5 - x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 5 \log{\left(5 - x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 5 \log{\left(5 - x \right)}+ \mathrm{constant}$