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Resolución de integrales/ sin^2/ lg*sin^2x

Integral de lg*sin^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                  
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 |                   
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 |  log(x)*sin (x) dx
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2
∫25log⁡(x)sin⁡2(x) dx\int\limits_{2}^{5} \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(log(x)*sin(x)^2, (x, 2, 5))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=sin⁡2(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du4\frac{du}{4}:

      ∫usin⁡(2u)−24u2 du\int \frac{u \sin{\left(\frac{2}{u} \right)} - 2}{4 u^{2}}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫usin⁡(2u)−2u2 du=∫usin⁡(2u)−2u2 du4\int \frac{u \sin{\left(\frac{2}{u} \right)} - 2}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u \sin{\left(\frac{2}{u} \right)} - 2}{u^{2}}\, du}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          usin⁡(2u)−2u2=sin⁡(2u)u−2u2\frac{u \sin{\left(\frac{2}{u} \right)} - 2}{u^{2}} = \frac{\sin{\left(\frac{2}{u} \right)}}{u} - \frac{2}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−sin⁡(2u)u) du\int \left(- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(2u)u du=−∫sin⁡(2u)u du\int \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{u}\, du

                SiRule(a=2, b=0, context=sin(2*_u)/_u, symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: −Si⁡(2u)- \operatorname{Si}{\left(2 u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −Si⁡(2u)- \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{u} \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          El resultado es: −Si⁡(2u)+2u- \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{u} \right)} + \frac{2}{u}

        Por lo tanto, el resultado es: −Si⁡(2u)4+12u- \frac{\operatorname{Si}{\left(\frac{2}{u} \right)}}{4} + \frac{1}{2 u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2−Si⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−sin⁡(2x)4x=2x−sin⁡(2x)4x\frac{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{x} = \frac{2 x - \sin{\left(2 x \right)}}{4 x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2x−sin⁡(2x)4x dx=∫2x−sin⁡(2x)x dx4\int \frac{2 x - \sin{\left(2 x \right)}}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{2 x - \sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx}{4}

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos dudu:

        ∫usin⁡(2u)−2u2 du\int \frac{u \sin{\left(\frac{2}{u} \right)} - 2}{u^{2}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          usin⁡(2u)−2u2=sin⁡(2u)u−2u2\frac{u \sin{\left(\frac{2}{u} \right)} - 2}{u^{2}} = \frac{\sin{\left(\frac{2}{u} \right)}}{u} - \frac{2}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

            Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

            ∫(−sin⁡(2u)u) du\int \left(- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(2u)u du=−∫sin⁡(2u)u du\int \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{u}\, du

                SiRule(a=2, b=0, context=sin(2*_u)/_u, symbol=_u)

              Por lo tanto, el resultado es: −Si⁡(2u)- \operatorname{Si}{\left(2 u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −Si⁡(2u)- \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{u} \right)}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−2u2) du=−2∫1u2 du\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u\frac{2}{u}

          El resultado es: −Si⁡(2u)+2u- \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{u} \right)} + \frac{2}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2x−Si⁡(2x)2 x - \operatorname{Si}{\left(2 x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: x2−Si⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−sin⁡(2x)4x=12−sin⁡(2x)4x\frac{\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{x} = \frac{1}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(2x)4x) dx=−∫sin⁡(2x)x dx4\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{x}\, dx}{4}

          SiRule(a=2, b=0, context=sin(2*x)/x, symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −Si⁡(2x)4- \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}

      El resultado es: x2−Si⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}

  3. Ahora simplificar:

    −x2+(2x−sin⁡(2x))log⁡(x)4+Si⁡(2x)4- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −x2+(2x−sin⁡(2x))log⁡(x)4+Si⁡(2x)4+constant- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2+(2x−sin⁡(2x))log⁡(x)4+Si⁡(2x)4+constant- \frac{x}{2} + \frac{\left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |           2             x   Si(2*x)   /x   sin(2*x)\       
 | log(x)*sin (x) dx = C - - + ------- + |- - --------|*log(x)
 |                         2      4      \2      4    /       
/
∫log⁡(x)sin⁡2(x) dx=C−x2+(x2−sin⁡(2x)4)log⁡(x)+Si⁡(2x)4\int \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right) \log{\left(x \right)} + \frac{\operatorname{Si}{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
2.005.002.252.502.753.003.253.503.754.004.254.504.750.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  3   Si(4)   Si(10)   /5   sin(10)\          /    sin(4)\       
- - - ----- + ------ + |- - -------|*log(5) - |1 - ------|*log(2)
  2     4       4      \2      4   /          \      4   /
−32−(1−sin⁡(4)4)log⁡(2)−Si⁡(4)4+Si⁡(10)4+(52−sin⁡(10)4)log⁡(5)- \frac{3}{2} - \left(1 - \frac{\sin{\left(4 \right)}}{4}\right) \log{\left(2 \right)} - \frac{\operatorname{Si}{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{Si}{\left(10 \right)}}{4} + \left(\frac{5}{2} - \frac{\sin{\left(10 \right)}}{4}\right) \log{\left(5 \right)} 
=
= 
  3   Si(4)   Si(10)   /5   sin(10)\          /    sin(4)\       
- - - ----- + ------ + |- - -------|*log(5) - |1 - ------|*log(2)
  2     4       4      \2      4   /          \      4   /
−32−(1−sin⁡(4)4)log⁡(2)−Si⁡(4)4+Si⁡(10)4+(52−sin⁡(10)4)log⁡(5)- \frac{3}{2} - \left(1 - \frac{\sin{\left(4 \right)}}{4}\right) \log{\left(2 \right)} - \frac{\operatorname{Si}{\left(4 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{Si}{\left(10 \right)}}{4} + \left(\frac{5}{2} - \frac{\sin{\left(10 \right)}}{4}\right) \log{\left(5 \right)} 
-3/2 - Si(4)/4 + Si(10)/4 + (5/2 - sin(10)/4)*log(5) - (1 - sin(4)/4)*log(2)
Respuesta numérica [src] 
1.89323188563437
1.89323188563437

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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