Integral de x^2/(5*x^3+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x^{3} + 1$.

      Luego que $du = 15 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{15}$:

      $\int \frac{1}{15 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{15}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(5 x^{3} + 1 \right)}}{15}$

   Método #2

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{15 u + 3}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 15 u + 3$.

            Luego que $du = 15 du$ y ponemos $\frac{du}{15}$:

            $\int \frac{1}{15 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{15}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(15 u + 3 \right)}}{15}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{15 u + 3} = \frac{1}{3 \left(5 u + 1\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \left(5 u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{5 u + 1}\, du}{3}$

            1. que $u = 5 u + 1$.

               Luego que $du = 5 du$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

               $\int \frac{1}{5 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(5 u + 1 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(5 u + 1 \right)}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(15 x^{3} + 3 \right)}}{15}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(5 x^{3} + 1 \right)}}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(5 x^{3} + 1 \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(5 x^{3} + 1 \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$