Integral de ((e^x+e^-x)^2)/4 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}}{4}\, dx = \frac{\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2}\, dx}{4}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{x}$.

         Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{3}}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} = 1 + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{2}}{2} + \log{\left(u^{2} \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{3}} = u + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{3}}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2} + \log{\left(e^{2 x} \right)} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2} = \left(e^{4 x} + 2 e^{2 x} + 1\right) e^{- 2 x}$

      2. que $u = e^{2 x}$.

         Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{2 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2} + 2 u + 1}{u^{2}} = 1 + \frac{2}{u} + \frac{1}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)} - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \log{\left(u \right)} - \frac{1}{2 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{2 x}}{2} + \log{\left(e^{2 x} \right)} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{x} + e^{- x}\right)^{2} = e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, dx = 2 x$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         El resultado es: $2 x + \frac{e^{2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{2 x}}{8} + \frac{\log{\left(e^{2 x} \right)}}{4} - \frac{e^{- 2 x}}{8}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\sinh{\left(2 x \right)} + \cosh{\left(2 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\sinh{\left(2 x \right)} + \cosh{\left(2 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\sinh{\left(2 x \right)} + \cosh{\left(2 x \right)} \right)}}{4} + \frac{\sinh{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$