Integral de cos^7(3x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\cos^{7}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{3} \cos{\left(3 x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{\sin^{6}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{3} + \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\sin^{6}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{3}\right)\, du = - \frac{\int \sin^{6}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(u \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(u \right)}}{21}$

         1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(u \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{3} \cos{\left(3 x \right)} = - \sin^{6}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{6}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{6}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{4}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{2}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3}$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right)^{3} \cos{\left(3 x \right)} = - \sin^{6}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \sin^{6}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{6}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{4}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{u^{2}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3}$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

      El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\sin^{7}{\left(3 x \right)}}{21} + \frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{5} - \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$