Integral de (1/y^2)-(4/y^3)lny dy

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{4}{y^{3}} \log{\left(y \right)}\right)\, dy = - \int \frac{4 \log{\left(y \right)}}{y^{3}}\, dy$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 \log{\left(y \right)}}{y^{3}}\, dy = 4 \int \frac{\log{\left(y \right)}}{y^{3}}\, dy$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = \log{\left(y \right)}$.

               Luego que $du = \frac{dy}{y}$ y ponemos $du$:

               $\int u e^{- 2 u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 2 u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = - 2 u$.

                     Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                     $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 2 u}\, du}{2}$

                  1. que $u = - 2 u$.

                     Luego que $du = - 2 du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                     $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{e^{- 2 u}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(y \right)}}{2 y^{2}} - \frac{1}{4 y^{2}}$

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(y \right)} = \log{\left(y \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(y \right)} = \frac{1}{y^{3}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(y \right)} = \frac{1}{y}$.

               Para buscar $v{\left(y \right)}$:

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = - \frac{1}{2 y^{2}}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{2 y^{3}}\right)\, dy = - \frac{\int \frac{1}{y^{3}}\, dy}{2}$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = - \frac{1}{2 y^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{4 y^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \log{\left(y \right)}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(y \right)}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

   PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=0, context=1/(y**2), symbol=y), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=0, context=1/(y**2), symbol=y), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=0, context=1/(y**2), symbol=y), False)], context=1/(y**2), symbol=y)

   El resultado es: $\text{NaN}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\text{NaN}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\text{NaN}+ \mathrm{constant}$