Integral de 6^(3*ln(x))*dx/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{x}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{6^{u}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6^{u}\, du = \frac{\int 6^{u}\, du}{3}$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 6^{u}\, du = \frac{6^{u}}{\log{\left(6 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6^{u}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6^{3 \log{\left(x \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{6^{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6^{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{6^{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

         1. que $u = 3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{3 du}{u}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

            $\int \left(- \frac{6^{u}}{3}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6^{u}\, du = - \frac{\int 6^{u}\, du}{3}$

               1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

                  $\int 6^{u}\, du = \frac{6^{u}}{\log{\left(6 \right)}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6^{u}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{6^{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6^{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{6^{3 \log{\left(x \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{216^{\log{\left(x \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{216^{\log{\left(x \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{216^{\log{\left(x \right)}}}{3 \log{\left(6 \right)}}+ \mathrm{constant}$