Integral de x^5*dx/(4+x^6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{6} + 4$.

      Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{1}{6 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x^{6} + 4 \right)}}{6}$

   Método #2

   1. que $u = x^{6}$.

      Luego que $du = 6 x^{5} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{6 u + 24}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 6 u + 24$.

            Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{1}{6 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(6 u + 24 \right)}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{6 u + 24} = \frac{1}{6 \left(u + 4\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{6 \left(u + 4\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 4}\, du}{6}$

            1. que $u = u + 4$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 4 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(6 x^{6} + 24 \right)}}{6}$

   Método #3

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2}}{2 u^{3} + 8}\, du$

      1. que $u = 2 u^{3} + 8$.

         Luego que $du = 6 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 u^{3} + 8 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 x^{6} + 8 \right)}}{6}$

   Método #4

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{3 u^{2} + 12}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u}{3 u^{2} + 12}\, du = \frac{\int \frac{6 u}{3 u^{2} + 12}\, du}{6}$

         1. que $u = 3 u^{2} + 12$.

            Luego que $du = 6 u du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

            $\int \frac{1}{6 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(3 u^{2} + 12 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 u^{2} + 12 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(3 x^{6} + 12 \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x^{6} + 4 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x^{6} + 4 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$