Integral de (5^(2x))/(3+5^(2x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)}}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)}$.

            Luego que $du = 2 \log{\left(5 \right)} du$ y ponemos $\frac{du}{2 \log{\left(5 \right)}}$:

            $\int \frac{1}{2 u \log{\left(5 \right)}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2 \log{\left(5 \right)}}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)}} = \frac{1}{2 \left(u + 3\right) \log{\left(5 \right)}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(u + 3\right) \log{\left(5 \right)}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 3}\, du}{2 \log{\left(5 \right)}}$

            1. que $u = u + 3$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 3 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 3 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{5^{u}}{2 \cdot 5^{u} + 6}\, du$

      1. que $u = 5^{u}$.

         Luego que $du = 5^{u} \log{\left(5 \right)} du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)}}\, du$

         1. que $u = 2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)}$.

            Luego que $du = 2 \log{\left(5 \right)} du$ y ponemos $\frac{du}{2 \log{\left(5 \right)}}$:

            $\int \frac{1}{2 u \log{\left(5 \right)}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2 \log{\left(5 \right)}}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 u \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 \cdot 5^{u} \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} + 6 \log{\left(5 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

   Método #3

   1. que $u = 5^{2 x} + 3$.

      Luego que $du = 2 \cdot 5^{2 x} \log{\left(5 \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2 \log{\left(5 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{2 u \log{\left(5 \right)}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2 \log{\left(5 \right)}}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(5^{2 x} + 3 \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\left(25^{x} + 3\right) \log{\left(25 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\left(25^{x} + 3\right) \log{\left(25 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\left(25^{x} + 3\right) \log{\left(25 \right)} \right)}}{2 \log{\left(5 \right)}}+ \mathrm{constant}$