Integral de x^2/(x^3+8) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 8$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{x^{3} + 8} = \frac{2 \left(x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - 2 x + 4\right)} + \frac{1}{3 \left(x + 2\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \left(x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - 2 x + 4\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx}{2}$

            1. que $u = x^{2} - 2 x + 4$.

               Luego que $du = \left(2 x - 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{3}$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$