Integral de 1/2^(3x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{1}{2}\right)^{3 x + 5} = \frac{2^{- 3 x}}{32}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2^{- 3 x}}{32}\, dx = \frac{\int 2^{- 3 x}\, dx}{32}$

      1. que $u = - 3 x$.

         Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{2^{u}}{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{- 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{- 3 x}}{96 \log{\left(2 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{1}{2}\right)^{3 x + 5} = \frac{2^{- 3 x}}{32}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2^{- 3 x}}{32}\, dx = \frac{\int 2^{- 3 x}\, dx}{32}$

      1. que $u = - 3 x$.

         Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{2^{u}}{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2^{u}\, du = - \frac{\int 2^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{u}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2^{- 3 x}}{3 \log{\left(2 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2^{- 3 x}}{96 \log{\left(2 \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2^{- 3 x}}{96 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2^{- 3 x}}{96 \log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$