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Resolución de integrales/ (x+y)/ 2^(x+y)+3^(x-2y)*(d*y)/

Integral de 2^(x+y)+3^(x-2y)*(d*y)/ dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                           
  /                           
 |                            
 |  / x + y    x - 2*y    \   
 |  \2      + 3       *d*y/ dx
 |                            
/                             
0
∫01(2x+y+3x−2ydy) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2^{x + y} + 3^{x - 2 y} d y\right)\, dx 
Integral(2^(x + y) + 3^(x - 2*y)*(d*y), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=x+yu = x + y.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫2u du\int 2^{u}\, du

        1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

          ∫2u du=2ulog⁡(2)\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2x+ylog⁡(2)\frac{2^{x + y}}{\log{\left(2 \right)}}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2x+y=2x2y2^{x + y} = 2^{x} 2^{y}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2y dx=2y∫2x dx\int 2^{x} 2^{y}\, dx = 2^{y} \int 2^{x}\, dx

        1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

          ∫2x dx=2xlog⁡(2)\int 2^{x}\, dx = \frac{2^{x}}{\log{\left(2 \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x2ylog⁡(2)\frac{2^{x} 2^{y}}{\log{\left(2 \right)}}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3x−2ydy dx=dy∫3x−2y dx\int 3^{x - 2 y} d y\, dx = d y \int 3^{x - 2 y}\, dx

      1. que u=x−2yu = x - 2 y.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫3u du\int 3^{u}\, du

        1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

          ∫3u du=3ulog⁡(3)\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3x−2ylog⁡(3)\frac{3^{x - 2 y}}{\log{\left(3 \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x−2ydylog⁡(3)\frac{3^{x - 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}}

    El resultado es: 2x+ylog⁡(2)+3x−2ydylog⁡(3)\frac{2^{x + y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{x - 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    2x2ylog⁡(2)+3x3−2ydylog⁡(3)\frac{2^{x} 2^{y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{x} 3^{- 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x2ylog⁡(2)+3x3−2ydylog⁡(3)+constant\frac{2^{x} 2^{y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{x} 3^{- 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x2ylog⁡(2)+3x3−2ydylog⁡(3)+constant\frac{2^{x} 2^{y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{x} 3^{- 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                   x + y        x - 2*y
 | / x + y    x - 2*y    \          2        d*y*3       
 | \2      + 3       *d*y/ dx = C + ------ + ------------
 |                                  log(2)      log(3)   
/
∫(2x+y+3x−2ydy) dx=2x+ylog⁡(2)+3x−2ydylog⁡(3)+C\int \left(2^{x + y} + 3^{x - 2 y} d y\right)\, dx = \frac{2^{x + y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{x - 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}} + C
Simplificar
Respuesta [src] 
 1 + y      y          1 - 2*y        -2*y
2          2      d*y*3          d*y*3    
------ - ------ + ------------ - ---------
log(2)   log(2)      log(3)        log(3)
−2ylog⁡(2)+2y+1log⁡(2)+31−2ydylog⁡(3)−3−2ydylog⁡(3)- \frac{2^{y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2^{y + 1}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{1 - 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}} - \frac{3^{- 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}} 
=
= 
 1 + y      y          1 - 2*y        -2*y
2          2      d*y*3          d*y*3    
------ - ------ + ------------ - ---------
log(2)   log(2)      log(3)        log(3)
−2ylog⁡(2)+2y+1log⁡(2)+31−2ydylog⁡(3)−3−2ydylog⁡(3)- \frac{2^{y}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{2^{y + 1}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{1 - 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}} - \frac{3^{- 2 y} d y}{\log{\left(3 \right)}} 
2^(1 + y)/log(2) - 2^y/log(2) + d*y*3^(1 - 2*y)/log(3) - d*y*3^(-2*y)/log(3)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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