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Resolución de integrales/ sen(pix)×x

Integral de sen(pix)×x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |  sin(pi*x)*x dx
 |                
/                 
0
∫01xsin⁡(πx) dx\int\limits_{0}^{1} x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral(sin(pi*x)*x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(πx)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. que u=πxu = \pi x.

      Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

      ∫sin⁡(u)π du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) duπ\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)π- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡(πx)π- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫(−cos⁡(πx)π) dx=−∫cos⁡(πx) dxπ\int \left(- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}

    1. que u=πxu = \pi x.

      Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

      ∫cos⁡(u)π du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) duπ\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)π\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(πx)π\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}

    Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(πx)π2- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  3. Ahora simplificar:

    −πxcos⁡(πx)+sin⁡(πx)π2\frac{- \pi x \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −πxcos⁡(πx)+sin⁡(πx)π2+constant\frac{- \pi x \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−πxcos⁡(πx)+sin⁡(πx)π2+constant\frac{- \pi x \cos{\left(\pi x \right)} + \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                      sin(pi*x)   x*cos(pi*x)
 | sin(pi*x)*x dx = C + --------- - -----------
 |                           2           pi    
/                          pi
∫xsin⁡(πx) dx=C−xcos⁡(πx)π+sin⁡(πx)π2\int x \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C - \frac{x \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1 
--
pi
1π\frac{1}{\pi} 
=
= 
1 
--
pi
1π\frac{1}{\pi} 
1/pi
Respuesta numérica [src] 
0.318309886183791
0.318309886183791

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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