Integral de (5-2*x+x/3)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{3} + \left(5 - 2 x\right)$.

      Luego que $du = - \frac{5 dx}{3}$ y ponemos $- \frac{3 du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{3 u^{3}}{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{3 \int u^{3}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4}}{20}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \left(\frac{x}{3} + \left(5 - 2 x\right)\right)^{4}}{20}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{x}{3} + \left(5 - 2 x\right)\right)^{3} = - \frac{125 x^{3}}{27} + \frac{125 x^{2}}{3} - 125 x + 125$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{125 x^{3}}{27}\right)\, dx = - \frac{125 \int x^{3}\, dx}{27}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{125 x^{4}}{108}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{125 x^{2}}{3}\, dx = \frac{125 \int x^{2}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{125 x^{3}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 125 x\right)\, dx = - 125 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{125 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 125\, dx = 125 x$

      El resultado es: $- \frac{125 x^{4}}{108} + \frac{125 x^{3}}{9} - \frac{125 x^{2}}{2} + 125 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{125 \left(x - 3\right)^{4}}{108}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{125 \left(x - 3\right)^{4}}{108}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{125 \left(x - 3\right)^{4}}{108}+ \mathrm{constant}$