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Resolución de integrales/ xcosx/ x/2-xcosxy

Integral de x/2-xcosxy dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  /x             \   
 |  |- - x*cos(x)*y| dx
 |  \2             /   
 |                     
/                      
0
∫01(x2−yxcos⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\frac{x}{2} - y x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(x/2 - x*cos(x)*y, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−yxcos⁡(x)) dx=−y∫xcos⁡(x) dx\int \left(- y x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - y \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −y(xsin⁡(x)+cos⁡(x))- y \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)

    El resultado es: x24−y(xsin⁡(x)+cos⁡(x))\frac{x^{2}}{4} - y \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)

  2. Añadimos la constante de integración:

    x24−y(xsin⁡(x)+cos⁡(x))+constant\frac{x^{2}}{4} - y \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x24−y(xsin⁡(x)+cos⁡(x))+constant\frac{x^{2}}{4} - y \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                            2                        
 | /x             \          x                         
 | |- - x*cos(x)*y| dx = C + -- - y*(x*sin(x) + cos(x))
 | \2             /          4                         
 |                                                     
/
∫(x2−yxcos⁡(x)) dx=C+x24−y(xsin⁡(x)+cos⁡(x))\int \left(\frac{x}{2} - y x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{x^{2}}{4} - y \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
1/4 + y - y*(cos(1) + sin(1))
−y(cos⁡(1)+sin⁡(1))+y+14- y \left(\cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}\right) + y + \frac{1}{4} 
=
= 
1/4 + y - y*(cos(1) + sin(1))
−y(cos⁡(1)+sin⁡(1))+y+14- y \left(\cos{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}\right) + y + \frac{1}{4} 
1/4 + y - y*(cos(1) + sin(1))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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