Integral de (x^3+216)/(x+6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 216}{x + 6} = x^{2} - 6 x + 36$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x\right)\, dx = - 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 36\, dx = 36 x$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 36 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 216}{x + 6} = \frac{x^{3}}{x + 6} + \frac{216}{x + 6}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{3}}{x + 6} = x^{2} - 6 x + 36 - \frac{216}{x + 6}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 x\right)\, dx = - 6 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 36\, dx = 36 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{216}{x + 6}\right)\, dx = - 216 \int \frac{1}{x + 6}\, dx$

            1. que $u = x + 6$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 6 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 216 \log{\left(x + 6 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 36 x - 216 \log{\left(x + 6 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{216}{x + 6}\, dx = 216 \int \frac{1}{x + 6}\, dx$

         1. que $u = x + 6$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 6 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $216 \log{\left(x + 6 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 36 x + 216 \log{\left(x + 6 \right)} - 216 \log{\left(x + 6 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(x^{2} - 9 x + 108\right)}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(x^{2} - 9 x + 108\right)}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(x^{2} - 9 x + 108\right)}{3}+ \mathrm{constant}$