Integral de (2x+3)e^(-2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\left(u + 3\right) e^{- u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u + 3\right) e^{- u}\, du = \frac{\int \left(u + 3\right) e^{- u}\, du}{2}$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u e^{u} - 3 e^{u}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 e^{u}\right)\, du = - 3 \int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 3 e^{u}$

               El resultado es: $u e^{u} - 4 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- u e^{- u} - 4 e^{- u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u e^{- u}}{2} - 2 e^{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 2 x} \left(2 x + 3\right) = 2 x e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x e^{- 2 x}\, dx = 2 \int x e^{- 2 x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

            1. que $u = - 2 x$.

               Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 e^{- 2 x}\, dx = 3 \int e^{- 2 x}\, dx$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 e^{- 2 x}}{2}$

      El resultado es: $- x e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x + 2\right) e^{- 2 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x + 2\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x + 2\right) e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$