Sr Examen
Integral de (2*x-1)/(x^2-2*x+3) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 3 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}\, dx$$
Integral((2*x - 1)/(x^2 - 2*x + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2*x - 1 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 3 | /
Reescribimos la función subintegral
2*x - 1 2*x - 2 1
------------ = ------------ + ----------------------------
2 2 / 2 \
x - 2*x + 3 x - 2*x + 3 |/ ___ ___\ |
||-\/ 2 \/ 2 | |
2*||-------*x + -----| + 1|
\\ 2 2 / /o
/ | | 2*x - 1 | ------------ dx | 2 = | x - 2*x + 3 | /
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x + -----| + 1
| \ 2 2 / /
| |
/ | 2*x - 2
------------------------------ + | ------------ dx
2 | 2
| x - 2*x + 3
|
/ En integral
/ | | 2*x - 2 | ------------ dx | 2 | x - 2*x + 3 | /
hacemos el cambio
2 u = x - 2*x
entonces
integral =
/ | | 1 | ----- du = log(3 + u) | 3 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x - 2 / 2 \ | ------------ dx = log\3 + x - 2*x/ | 2 | x - 2*x + 3 | /
En integral
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x + -----| + 1
| \ 2 2 /
|
/
------------------------------
2 hacemos el cambio
___ ___
\/ 2 x*\/ 2
v = ----- - -------
2 2 entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x + -----| + 1 / ___ ___\
| \ 2 2 / ___ | \/ 2 x*\/ 2 |
| \/ 2 *atan|- ----- + -------|
/ \ 2 2 /
------------------------------ = -----------------------------
2 2 La solución:
/ ___ ___\
___ | \/ 2 x*\/ 2 |
\/ 2 *atan|- ----- + -------|
\ 2 2 / / 2 \
C + ----------------------------- + log\3 + x - 2*x/
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |\/ 2 *(-1 + x)| | \/ 2 *atan|--------------| | 2*x - 1 \ 2 / / 2 \ | ------------ dx = C + -------------------------- + log\3 + x - 2*x/ | 2 2 | x - 2*x + 3 | /
$$\int \frac{2 x - 1}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}\, dx = C + \log{\left(x^{2} - 2 x + 3 \right)} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right)}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\
___ |\/ 2 |
\/ 2 *atan|-----|
\ 2 /
-log(3) + ----------------- + log(2)
2
$$- \log{\left(3 \right)} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)}$$
=
=
/ ___\
___ |\/ 2 |
\/ 2 *atan|-----|
\ 2 /
-log(3) + ----------------- + log(2)
2
$$- \log{\left(3 \right)} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)}$$
-log(3) + sqrt(2)*atan(sqrt(2)/2)/2 + log(2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.