Sr Examen

Otras calculadoras

Integral de (lnx)^2(x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2                   
 e                    
  /                   
 |                    
 |     2              
 |  log (x)*(x + 1) dx
 |                    
/                     
E                     
ee2(x+1)log(x)2dx\int\limits_{e}^{e^{2}} \left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}^{2}\, dx
Integral(log(x)^2*(x + 1), (x, E, exp(2)))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      (u2e2u+u2eu)du\int \left(u^{2} e^{2 u} + u^{2} e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2eudu=2eudu\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        El resultado es: u2e2u2+u2euue2u22ueu+e2u4+2eu\frac{u^{2} e^{2 u}}{2} + u^{2} e^{u} - \frac{u e^{2 u}}{2} - 2 u e^{u} + \frac{e^{2 u}}{4} + 2 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x2log(x)22x2log(x)2+x24+xlog(x)22xlog(x)+2x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)log(x)2=xlog(x)2+log(x)2\left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}^{2} = x \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        u2e2udu\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log(x)22x2log(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        u2eudu\int u^{2} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2eudu=2eudu\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xlog(x)22xlog(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

      El resultado es: x2log(x)22x2log(x)2+x24+xlog(x)22xlog(x)+2x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+1)log(x)2=xlog(x)2+log(x)2\left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}^{2} = x \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)}^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        u2e2udu\int u^{2} e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log(x)22x2log(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

      1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        u2eudu\int u^{2} e^{u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

          Entonces du(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2eudu=2eudu\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xlog(x)22xlog(x)+2xx \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

      El resultado es: x2log(x)22x2log(x)2+x24+xlog(x)22xlog(x)+2x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog(x)22xlog(x)+x+4log(x)28log(x)+8)4\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x + 4 \log{\left(x \right)}^{2} - 8 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog(x)22xlog(x)+x+4log(x)28log(x)+8)4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x + 4 \log{\left(x \right)}^{2} - 8 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x(2xlog(x)22xlog(x)+x+4log(x)28log(x)+8)4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x + 4 \log{\left(x \right)}^{2} - 8 \log{\left(x \right)} + 8\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                   
 |                                 2                2    2                    2       
 |    2                           x         2      x *log (x)                x *log(x)
 | log (x)*(x + 1) dx = C + 2*x + -- + x*log (x) + ---------- - 2*x*log(x) - ---------
 |                                4                    2                         2    
/                                                                                     
(x+1)log(x)2dx=C+x2log(x)22x2log(x)2+x24+xlog(x)22xlog(x)+2x\int \left(x + 1\right) \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + 2 x
Gráfica
3.03.54.04.55.05.56.06.57.00100
Respuesta [src]
        4      2
     5*e    7*e 
-E + ---- + ----
      4      4  
e+7e24+5e44- e + \frac{7 e^{2}}{4} + \frac{5 e^{4}}{4}
=
=
        4      2
     5*e    7*e 
-E + ---- + ----
      4      4  
e+7e24+5e44- e + \frac{7 e^{2}}{4} + \frac{5 e^{4}}{4}
-E + 5*exp(4)/4 + 7*exp(2)/4
Respuesta numérica [src]
78.4602538860999
78.4602538860999

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.