Integral de (2x-7)/(x^2-5) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{2 x - 7}{x^{2} - 5} = \frac{2 x}{x^{2} - 5} - \frac{7}{x^{2} - 5}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x}{x^{2} - 5}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 5}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{x^{2} - 5}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} - 5}\, dx}{2}$

         1. que $u = x^{2} - 5$.

            Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} - 5 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{2} - 5 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x^{2} - 5 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{7}{x^{2} - 5}\right)\, dx = - 7 \int \frac{1}{x^{2} - 5}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=-5, context=1/(x**2 - 5), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=1, c=-5, context=1/(x**2 - 5), symbol=x), x**2 > 5), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=-5, context=1/(x**2 - 5), symbol=x), x**2 < 5)], context=1/(x**2 - 5), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- 7 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right)$

   El resultado es: $- 7 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\- \frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right) + \log{\left(x^{2} - 5 \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \log{\left(x^{2} - 5 \right)} + \frac{7 \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\log{\left(x^{2} - 5 \right)} + \frac{7 \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \log{\left(x^{2} - 5 \right)} + \frac{7 \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\log{\left(x^{2} - 5 \right)} + \frac{7 \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \log{\left(x^{2} - 5 \right)} + \frac{7 \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\log{\left(x^{2} - 5 \right)} + \frac{7 \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}$