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Resolución de integrales/ sin(2*x)/ (4*x*x-3)*sin(2*x)

Integral de (4*x*x-3)*sin(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
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 |  (4*x*x - 3)*sin(2*x) dx
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0
∫01(x4x−3)sin⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(((4*x)*x - 3)*sin(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x4x−3)sin⁡(2x)=4x2sin⁡(2x)−3sin⁡(2x)\left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(2 x \right)} = 4 x^{2} \sin{\left(2 x \right)} - 3 \sin{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2sin⁡(2x) dx=4∫x2sin⁡(2x) dx\int 4 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−xu{\left(x \right)} = - x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(2x)2) dx=−∫sin⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(2x)4\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡(2x)) dx=−3∫sin⁡(2x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(2x)2\frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: −2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+5cos⁡(2x)2- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x2−3u{\left(x \right)} = 4 x^{2} - 3 y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=8x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 8 x.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=−4xu{\left(x \right)} = - 4 x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−4\operatorname{du}{\left(x \right)} = -4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(2x)\cos{\left(2 x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x4x−3)sin⁡(2x)=4x2sin⁡(2x)−3sin⁡(2x)\left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(2 x \right)} = 4 x^{2} \sin{\left(2 x \right)} - 3 \sin{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2sin⁡(2x) dx=4∫x2sin⁡(2x) dx\int 4 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=−xu{\left(x \right)} = - x y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = -1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(2x)2) dx=−∫sin⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(2x)4\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3sin⁡(2x)) dx=−3∫sin⁡(2x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡(2x)2\frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: −2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+5cos⁡(2x)2- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #4

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2(x4x−3)sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫(x4x−3)sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x4x−3)sin⁡(x)cos⁡(x)=4x2sin⁡(x)cos⁡(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x)\left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 4 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4x2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=4∫x2sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 4 x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=−x2u{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=−12\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−sin⁡(2x)4) dx=−∫sin⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(2x)8\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2cos⁡(2x)+xsin⁡(2x)+cos⁡(2x)2- x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−3∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 3cos⁡2(x)2\frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        El resultado es: −x2cos⁡(2x)+xsin⁡(2x)+3cos⁡2(x)2+cos⁡(2x)2- x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+3cos⁡2(x)+cos⁡(2x)- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+5cos⁡(2x)2+constant- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+5cos⁡(2x)2+constant- 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                       
 |                               5*cos(2*x)      2                        
 | (4*x*x - 3)*sin(2*x) dx = C + ---------- - 2*x *cos(2*x) + 2*x*sin(2*x)
 |                                   2                                    
/
∫(x4x−3)sin⁡(2x) dx=C−2x2cos⁡(2x)+2xsin⁡(2x)+5cos⁡(2x)2\int \left(x 4 x - 3\right) \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C - 2 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  5   cos(2)           
- - + ------ + 2*sin(2)
  2     2
−52+cos⁡(2)2+2sin⁡(2)- \frac{5}{2} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + 2 \sin{\left(2 \right)} 
=
= 
  5   cos(2)           
- - + ------ + 2*sin(2)
  2     2
−52+cos⁡(2)2+2sin⁡(2)- \frac{5}{2} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + 2 \sin{\left(2 \right)} 
-5/2 + cos(2)/2 + 2*sin(2)
Respuesta numérica [src] 
-0.889478564622208
-0.889478564622208

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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