Integral de (6x*2x^0.5+8*2x^0.5)/3x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(8 u^{6} + \frac{32 u^{4}}{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{6}\, du = 8 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{32 u^{4}}{3}\, du = \frac{32 \int u^{4}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 u^{5}}{15}$

         El resultado es: $\frac{8 u^{7}}{7} + \frac{32 u^{5}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{32 x^{\frac{5}{2}}}{15}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{\sqrt{x} 2 \cdot 6 x + 16 \sqrt{x}}{3} = 4 x^{\frac{5}{2}} + \frac{16 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 4 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 x^{\frac{3}{2}}}{3}\, dx = \frac{16 \int x^{\frac{3}{2}}\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32 x^{\frac{5}{2}}}{15}$

      El resultado es: $\frac{8 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{32 x^{\frac{5}{2}}}{15}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{8 x^{\frac{5}{2}} \left(15 x + 28\right)}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 x^{\frac{5}{2}} \left(15 x + 28\right)}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 x^{\frac{5}{2}} \left(15 x + 28\right)}{105}+ \mathrm{constant}$