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Resolución de integrales/ (x-1)/ (x-4)/ 2x+1/(x(x-1)(x-4))

Integral de 2x+1/(x(x-1)(x-4)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                             
  /                             
 |                              
 |  /              1        \   
 |  |2*x + -----------------| dx
 |  \      x*(x - 1)*(x - 4)/   
 |                              
/                               
0
∫01(2x+1x(x−1)(x−4)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 x + \frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 4\right)}\right)\, dx 
Integral(2*x + 1/((x*(x - 1))*(x - 4)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x(x−1)(x−4)=−13(x−1)+112(x−4)+14x\frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 4\right)} = - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{12 \left(x - 4\right)} + \frac{1}{4 x}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x−4) dx=∫1x−4 dx12\int \frac{1}{12 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{12}

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)12\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

          1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3\frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x(x−1)(x−4)=1x3−5x2+4x\frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 4\right)} = \frac{1}{x^{3} - 5 x^{2} + 4 x}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−5x2+4x=−13(x−1)+112(x−4)+14x\frac{1}{x^{3} - 5 x^{2} + 4 x} = - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{12 \left(x - 4\right)} + \frac{1}{4 x}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x−4) dx=∫1x−4 dx12\int \frac{1}{12 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{12}

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)12\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

          1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3\frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1x(x−1)(x−4)=1x3−5x2+4x\frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 4\right)} = \frac{1}{x^{3} - 5 x^{2} + 4 x}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        1x3−5x2+4x=−13(x−1)+112(x−4)+14x\frac{1}{x^{3} - 5 x^{2} + 4 x} = - \frac{1}{3 \left(x - 1\right)} + \frac{1}{12 \left(x - 4\right)} + \frac{1}{4 x}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13(x−1)) dx=−∫1x−1 dx3\int \left(- \frac{1}{3 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{3}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−1)3- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫112(x−4) dx=∫1x−4 dx12\int \frac{1}{12 \left(x - 4\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 4}\, dx}{12}

          1. que u=x−4u = x - 4.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−4)\log{\left(x - 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−4)12\frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

          1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

        El resultado es: log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3\frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

    El resultado es: x2+log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3x^{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2+log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3+constantx^{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3+constantx^{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                           
 | /              1        \           2   log(-1 + x)   log(x)   log(-4 + x)
 | |2*x + -----------------| dx = C + x  - ----------- + ------ + -----------
 | \      x*(x - 1)*(x - 4)/                    3          4           12    
 |                                                                           
/
∫(2x+1x(x−1)(x−4)) dx=C+x2+log⁡(x)4+log⁡(x−4)12−log⁡(x−1)3\int \left(2 x + \frac{1}{x \left(x - 1\right) \left(x - 4\right)}\right)\, dx = C + x^{2} + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} + \frac{\log{\left(x - 4 \right)}}{12} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
26.6956236228671
26.6956236228671

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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