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Resolución de integrales/ (3x+5)/ (3x+5)/(x^4+3x^3)

Integral de (3x+5)/(x^4+3x^3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |   3*x + 5    
 |  --------- dx
 |   4      3   
 |  x  + 3*x    
 |              
/               
0
∫013x+5x4+3x3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 5}{x^{4} + 3 x^{3}}\, dx 
Integral((3*x + 5)/(x^4 + 3*x^3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+5x4+3x3=427(x+3)−427x+49x2+53x3\frac{3 x + 5}{x^{4} + 3 x^{3}} = \frac{4}{27 \left(x + 3\right)} - \frac{4}{27 x} + \frac{4}{9 x^{2}} + \frac{5}{3 x^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫427(x+3) dx=4∫1x+3 dx27\int \frac{4}{27 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x + 3}\, dx}{27}

        1. que u=x+3u = x + 3.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x+3)27\frac{4 \log{\left(x + 3 \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−427x) dx=−4∫1x dx27\int \left(- \frac{4}{27 x}\right)\, dx = - \frac{4 \int \frac{1}{x}\, dx}{27}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x)27- \frac{4 \log{\left(x \right)}}{27}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫49x2 dx=4∫1x2 dx9\int \frac{4}{9 x^{2}}\, dx = \frac{4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{9}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −49x- \frac{4}{9 x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫53x3 dx=5∫1x3 dx3\int \frac{5}{3 x^{3}}\, dx = \frac{5 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx}{3}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −56x2- \frac{5}{6 x^{2}}

      El resultado es: −4log⁡(x)27+4log⁡(x+3)27−49x−56x2- \frac{4 \log{\left(x \right)}}{27} + \frac{4 \log{\left(x + 3 \right)}}{27} - \frac{4}{9 x} - \frac{5}{6 x^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3x+5x4+3x3=3xx4+3x3+5x4+3x3\frac{3 x + 5}{x^{4} + 3 x^{3}} = \frac{3 x}{x^{4} + 3 x^{3}} + \frac{5}{x^{4} + 3 x^{3}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xx4+3x3 dx=3∫xx4+3x3 dx\int \frac{3 x}{x^{4} + 3 x^{3}}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} + 3 x^{3}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx4+3x3=19(x+3)−19x+13x2\frac{x}{x^{4} + 3 x^{3}} = \frac{1}{9 \left(x + 3\right)} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{3 x^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫19(x+3) dx=∫1x+3 dx9\int \frac{1}{9 \left(x + 3\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{9}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x+3)9\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{9}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−19x) dx=−∫1x dx9\int \left(- \frac{1}{9 x}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{9}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)9- \frac{\log{\left(x \right)}}{9}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13x2 dx=∫1x2 dx3\int \frac{1}{3 x^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{3}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

            Por lo tanto, el resultado es: −13x- \frac{1}{3 x}

          El resultado es: −log⁡(x)9+log⁡(x+3)9−13x- \frac{\log{\left(x \right)}}{9} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{9} - \frac{1}{3 x}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x)3+log⁡(x+3)3−1x- \frac{\log{\left(x \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{3} - \frac{1}{x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5x4+3x3 dx=5∫1x4+3x3 dx\int \frac{5}{x^{4} + 3 x^{3}}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{4} + 3 x^{3}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1x4+3x3=−127(x+3)+127x−19x2+13x3\frac{1}{x^{4} + 3 x^{3}} = - \frac{1}{27 \left(x + 3\right)} + \frac{1}{27 x} - \frac{1}{9 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{3}}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−127(x+3)) dx=−∫1x+3 dx27\int \left(- \frac{1}{27 \left(x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 3}\, dx}{27}

            1. que u=x+3u = x + 3.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+3)\log{\left(x + 3 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+3)27- \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{27}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫127x dx=∫1x dx27\int \frac{1}{27 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{27}

            1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)27\frac{\log{\left(x \right)}}{27}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−19x2) dx=−∫1x2 dx9\int \left(- \frac{1}{9 x^{2}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{9}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

            Por lo tanto, el resultado es: 19x\frac{1}{9 x}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫13x3 dx=∫1x3 dx3\int \frac{1}{3 x^{3}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{3}}\, dx}{3}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

            Por lo tanto, el resultado es: −16x2- \frac{1}{6 x^{2}}

          El resultado es: log⁡(x)27−log⁡(x+3)27+19x−16x2\frac{\log{\left(x \right)}}{27} - \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{27} + \frac{1}{9 x} - \frac{1}{6 x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(x)27−5log⁡(x+3)27+59x−56x2\frac{5 \log{\left(x \right)}}{27} - \frac{5 \log{\left(x + 3 \right)}}{27} + \frac{5}{9 x} - \frac{5}{6 x^{2}}

      El resultado es: −4log⁡(x)27+4log⁡(x+3)27−49x−56x2- \frac{4 \log{\left(x \right)}}{27} + \frac{4 \log{\left(x + 3 \right)}}{27} - \frac{4}{9 x} - \frac{5}{6 x^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    8x2(−log⁡(x)+log⁡(x+3))−24x−4554x2\frac{8 x^{2} \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 3 \right)}\right) - 24 x - 45}{54 x^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    8x2(−log⁡(x)+log⁡(x+3))−24x−4554x2+constant\frac{8 x^{2} \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 3 \right)}\right) - 24 x - 45}{54 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

8x2(−log⁡(x)+log⁡(x+3))−24x−4554x2+constant\frac{8 x^{2} \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x + 3 \right)}\right) - 24 x - 45}{54 x^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                       
 |                                                        
 |  3*x + 5            5      4    4*log(x)   4*log(3 + x)
 | --------- dx = C - ---- - --- - -------- + ------------
 |  4      3             2   9*x      27           27     
 | x  + 3*x           6*x                                 
 |                                                        
/
∫3x+5x4+3x3 dx=C−4log⁡(x)27+4log⁡(x+3)27−49x−56x2\int \frac{3 x + 5}{x^{4} + 3 x^{3}}\, dx = C - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{27} + \frac{4 \log{\left(x + 3 \right)}}{27} - \frac{4}{9 x} - \frac{5}{6 x^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.52560839650582e+38
1.52560839650582e+38

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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