Integral de e^x*(2-3*e^x)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sqrt{2 - 3 u}\, du$

      1. que $u = 2 - 3 u$.

         Luego que $du = - 3 du$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \left(2 - 3 u\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(2 - 3 e^{x}\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

   Método #2

   1. que $u = 2 - 3 e^{x}$.

      Luego que $du = - 3 e^{x} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(2 - 3 e^{x}\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \left(2 - 3 e^{x}\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \left(2 - 3 e^{x}\right)^{\frac{3}{2}}}{9}+ \mathrm{constant}$