Integral de п(x^1/2-x^2)^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(\sqrt{x} - x^{2}\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(2 u^{9} - 4 u^{6} + 2 u^{3}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{9}\, du = 2 \int u^{9}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 u^{6}\right)\, du = - 4 \int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u^{7}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u^{3}\, du = 2 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{10}}{5} - \frac{4 u^{7}}{7} + \frac{u^{4}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\sqrt{x} - x^{2}\right)^{2} = - 2 x^{\frac{5}{2}} + x^{4} + x$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 x^{\frac{5}{2}}\right)\, dx = - 2 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         El resultado es: $- \frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(- \frac{4 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(- 40 x^{\frac{7}{2}} + 14 x^{5} + 35 x^{2}\right)}{70}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(- 40 x^{\frac{7}{2}} + 14 x^{5} + 35 x^{2}\right)}{70}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(- 40 x^{\frac{7}{2}} + 14 x^{5} + 35 x^{2}\right)}{70}+ \mathrm{constant}$