Integral de (2x+3)(4x+5)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(8 u^{5} + 104 u^{4} + 540 u^{3} + 1400 u^{2} + \frac{3625 u}{2} + \frac{1875}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{5}\, du = 8 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 104 u^{4}\, du = 104 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{104 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 540 u^{3}\, du = 540 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $135 u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1400 u^{2}\, du = 1400 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1400 u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3625 u}{2}\, du = \frac{3625 \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3625 u^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1875}{2}\, du = \frac{1875 u}{2}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{6}}{3} + \frac{104 u^{5}}{5} + 135 u^{4} + \frac{1400 u^{3}}{3} + \frac{3625 u^{2}}{4} + \frac{1875 u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{256 x^{6}}{3} + \frac{3328 x^{5}}{5} + 2160 x^{4} + \frac{11200 x^{3}}{3} + 3625 x^{2} + 1875 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 3\right) \left(4 x + 5\right)^{4} = 512 x^{5} + 3328 x^{4} + 8640 x^{3} + 11200 x^{2} + 7250 x + 1875$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 512 x^{5}\, dx = 512 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3328 x^{4}\, dx = 3328 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3328 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8640 x^{3}\, dx = 8640 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2160 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11200 x^{2}\, dx = 11200 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11200 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7250 x\, dx = 7250 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3625 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1875\, dx = 1875 x$

      El resultado es: $\frac{256 x^{6}}{3} + \frac{3328 x^{5}}{5} + 2160 x^{4} + \frac{11200 x^{3}}{3} + 3625 x^{2} + 1875 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(1280 x^{5} + 9984 x^{4} + 32400 x^{3} + 56000 x^{2} + 54375 x + 28125\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(1280 x^{5} + 9984 x^{4} + 32400 x^{3} + 56000 x^{2} + 54375 x + 28125\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(1280 x^{5} + 9984 x^{4} + 32400 x^{3} + 56000 x^{2} + 54375 x + 28125\right)}{15}+ \mathrm{constant}$