Integral de √x(1-x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $t x \left(1 - x\right)^{2} = t x^{3} - 2 t x^{2} + t x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int t x^{3}\, dx = t \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{4}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 2 t x^{2}\right)\, dx = - 2 t \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 t x^{3}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int t x\, dx = t \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{t x^{4}}{4} - \frac{2 t x^{3}}{3} + \frac{t x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{t x^{2} \left(3 x^{2} - 8 x + 6\right)}{12}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t x^{2} \left(3 x^{2} - 8 x + 6\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t x^{2} \left(3 x^{2} - 8 x + 6\right)}{12}+ \mathrm{constant}$