Integral de (3x+2)/(x^(1/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(9 u^{4} + 6 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 u^{4}\, du = 9 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u\, du = 6 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{2}$

         El resultado es: $\frac{9 u^{5}}{5} + 3 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{3 x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

            $\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{5 u^{5}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{\frac{2}{3}}$

      El resultado es: $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{\frac{2}{3}} \left(\frac{9 x}{5} + 3\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{\frac{2}{3}} \left(\frac{9 x}{5} + 3\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{\frac{2}{3}} \left(\frac{9 x}{5} + 3\right)+ \mathrm{constant}$